|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Vergelijking cirkel bepalen
Mijn dochter warvan ik nogmaals het slachtoffer ben zoekt antwoord op volgende vraag: Een Cauchy rij is een rij waarvoor geldt: (formule kan ik niet lezen)
Bewijs dat elke convergentie rij een cauchy-rij is.
Het gaat hier namelijk over het bewijs en waarom.
Antwoord
Beste Lyna,
Een rij is een Cauchy-rij als de elementen van de rij willekeurig dicht bij elkaar komen te liggen vanaf een zekere index. Wiskundig kunnen we dit als volgt formuleren, waarin (un) een numerieke rij is, deze is dan een Cauchy-rij indien: " e  0, $ N 0 : n,m N Þ |un-um|  e.
We noemen een rij convergent als ze naar een zekere eindige waarde convergeert, dus als de limiet voor n®¥ in un gelijk is aan een zeker reëel getal l. Opnieuw kunnen we dit symbolisch omschrijven (dit is equivalent met de limiet-notatie): We zeggen dat de numerieke rij (un) convergeert naar een waarde l indien: " e 0, $ N : " n N Þ |un-l| e.
Je wilt nu aantonen dat uit convergentie sowieso volgt dat er voldaan is aan het criterium van Cauchy. Uit convergentie volgt dat er voor een willekeurige epsilon geldt (kies hier e/2): |un-l| e/2.
Gebruik dan de driehoeksongelijkheid (met zowel n als m groter dan de grensindex N uit de definitie van de convergentie):
|un-um| = |un - l + l -um|  |un-l| + |l-um| e/2 + e/2 = e
Hieruit volgt dat de rij een Cauchy-rij is.
mvg,
Tom
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
